mateltechИзвестия высших учебных заведений. Материалы электронной техникиIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Materialy Elektronnoi Tekhniki = Materials of Electronics Engineering1609-35772413-6387MISIS10.17073/1609-3577-2019-3-190-196mateltech-363Research ArticleМатематическое моделирование в материаловедении электронных компонентовMATHEMATICAL MODELING IN MATERIALS SCIENCE OF ELECTRONIC COMPONENTSВычисление эффективного коэффициента теплопроводности сверхрешетки на основе кинетического уравнения Больцмана с использованием первопринципных расчетовCalculation of the effective thermal conductivity of a superlattice based on the Boltzmann transport equation using first-principle calculationshttps://orcid.org/0000-0002-0059-0712АбгарянК. К.AbgaryanK. K.kristal83@mail.ruКолбинИ. С.KolbinI. S.iskolbin@gmail.comФедеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук, ул. Вавилова, д. 44, корп. 2, Москва, 119333, Россия Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Волоколамское шоссе, д. 4, Москва, 125993, РоссияРоссияFederal Research Centre “Information and Control” of the Russian Academy of Sciences, 44 Vavilov Str., Moscow 119333, Russia Moscow Aviation Institute (National Research University), 4 Volokolamskoe shosse, 4, Moscow, 125993, RussiaRussian FederationФедеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук, ул. Вавилова, д. 44, корп. 2, Москва, 119333, РоссияРоссияFederal Research Centre “Information and Control” of the Russian Academy of Sciences, 44 Vavilov Str., Moscow 119333, RussiaRussian Federation201913022020223190196Copyright © Абгарян К.К., Колбин И.С., 20202020Абгарян К.К., Колбин И.С.Abgaryan K.K., Kolbin I.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://met.misis.ru/jour/article/view/363

В работе проводится вычисление эффективного коэффициента теплопроводности для бинарной полупроводниковой гетероструктуры на примере сверхрешетки GaAs/AlAs для различных периодов слоев и при различных температурах окружающей среды. На рассматриваемых масштабах использование моделей, основанных на законе Фурье, сильно ограничено, т. к. они не учитывают квантовомеханические свойства материалов, что дает сильное расхождение с экспериментальными данными. С другой стороны, использование методов молекулярной динамики позволяет получить точные решения, но они существенно более требовательны к вычислительным ресурсам и требуют решение нетривиальной задачи подбора потенциала. При рассмотрении наноструктур хорошие результаты показали методы, основанные на решении кинетического уравнения Больцмана для фононов, они позволяют получить достаточно точное решение, при этом обладая меньшей вычислительной сложностью, чем методы молекулярной динамики. Для расчета коэффициента теплопроводности в работе используется модель модального подавления, аппроксимирующая решение кинетического уравнения Больцмана для фононов. Дисперсионные параметры и параметры рассеяния фононов получены из первопринципных расчетов. В работе учитываются двух фононные, связанные с изотопичеким беспорядком и барьерные, и трех фононные процессы рассеяния. Для повышения точности вычислений, в работе учитывается неоднородность распределения материалов по слоям сверхрешетки. Проведено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными, продемонстрировано хорошее соответствие.

In this work, we calculate the effective thermal conductivity coefficient for a binary semiconductor heterostructure using the GaAs/AlAs superlattice as an example. Different periods of layers and different ambient temperatures are considered. At the scale under consideration, the use of models based on the Fourier law is very limited, since they do not take into account the quantum-mechanical properties of materials, which gives a strong discrepancy with experimental data. On the other hand, the use of molecular dynamics methods allows us to obtain accurate solutions, but they are significantly more demanding on computing resources and also require solving a non-trivial problem of potential selection. When considering nanostructures, good results were shown by methods based on the solution of the Boltzmann transport equation for phonons; they allow one to obtain a fairly accurate solution, while having less computational complexity than molecular dynamics methods. To calculate the thermal conductivity coefficient, a modal suppression model is used that approximates the solution of the Boltzmann transport equation for phonons. The dispersion parameters and phonon scattering parameters are obtained from first-principle calculations. The work takes into account 2-phonon (associated with isotopic disorder and barriers) and 3-phonon scattering processes. To increase the accuracy of calculations, the non-digital profile of the distribution of materials among the layers of the superlattice is taken into account. The obtained results are compared with experimental data showing good agreement.

коэффициент теплопроводностисверхрешеткаполупроводниковая гетероструктураthermal conductivity coefficientsuperlatticesemiconductor heterostructureРабота выполнена при поддержке грантов РФФИ №№ 19-08-01191А и 18-29-03100. Для расчетов использовался вычислительный кластер ФИЦ ИУ РАН.This work was supported by grants from the Russian Foundation for Basic Research Nos. 19-08-01191A and 18-29-03100. For the calculations, we used the computing cluster of the Federal Research Center of the Institute of Management of the Russian Academy of Sciences.ReferencesCarrete J., Vermeersch B., Katre A., van Roekeghem A., Wang T., Madsen G. K. H., Mingo N. almaBTE : A solver of the space–time dependent Boltzmann transport equation for phonons in structured materials // Computer Physics Communications. 2017. V. 220. P. 351—362. DOI: 10.1016/j.cpc.2017.06.023Carrete J., Vermeersch B., Katre A., van Roekeghem A., Wang T., Madsen G. K. H., Mingo N. almaBTE : A solver of the space–time dependent Boltzmann transport equation for phonons in structured materials. Computer Physics Communications, 2017, vol. 220, pp. 351—362. DOI: 10.1016/j.cpc.2017.06.023Скрябин А. С., Xвесюк В. И. Теплопроводность наноструктур // Теплофизика высоких температур. 2017. Т. 55, Вып. 3. С. 447—471. DOI: 10.7868/S0040364417030127Khvesyuk V. I., Skryabin A. S. Heat conduction in nanostructures. High Temperature, 2017, vol. 55, no. 3, pp. 434—456. DOI: 10.1134/S0018151X17030129van Roekeghem A., Vermeersch B., Carrete J., Mingo N. Thermal resistance of GaN/AlN graded interfaces // Phys. Rev. Appl. 2019. V. 11, Iss. 3. P. 034036. DOI: 10.1103/PhysRevApplied.11.034036van Roekeghem A., Vermeersch B., Carrete J., Mingo N. Thermal resistance of GaN/AlN graded interfaces. Phys. Rev. Appl., 2019, vol. 11, no. 3, p. 034036. DOI: 10.1103/PhysRevApplied.11.034036McGaughey A. J. H., Kaviany M. Phonon transport in molecular dynamics simulations: formulation and thermal conductivity prediction // Advances in Heat Transfer. 2006. V. 39. P. 169—255. DOI: 10.1016/S0065-2717(06)39002-8McGaughey A. J. H., Kaviany M. Phonon transport in molecular dynamics simulations: formulation and thermal conductivity prediction. Advances in Heat Transfer., 2006, vol. 39, pp. 169—255. DOI: 10.1016/S0065-2717(06)39002-8Zhang Xing-Li, Sun Zhao-Wei. Molecular dynamics simulation on thermal boundary resistance of superlattice structure // J. Aero. Mat. 2011. V. 31, N 4. P. 7—10. DOI: 10.3969/j.issn.1005-5053.2011.4.002Zhang Xing-Li, Sun Zhao-Wei. Molecular dynamics simulation on thermal boundary resistance of superlattice structure. J. Aero. Mat., 2011, vol. 31, no. 4, pp. 7—10. DOI: 10.3969/j.issn.1005-5053.2011.4.002Абгарян К. К., Евтушенко Ю. Г., Мутигуллин И. В., Уваров С. И. Молекулярно-динамическое моделирование начальных этапов процесса нитридизации поверхности Si(111) в атмосфере NH3 // Изв. вузов. Материалы электронной техники. 2015. Т. 18, № 4. C. 267—272. DOI: 10.17073/1609-3577-2015-4-267-272Abgaryan K. K., Evtushenko Yu. G., Mutigullin I. V., Uvarov S. I. Molecular dynamic modeling of the initial stages of Si(111) surface nitridization in NH3 atmosphere. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Materialy Elektronnoi Tekhniki = Materials of Electronics Engineering, 2015, vol. 18, no. 4, pp. 267—272. (In Russ.). DOI: 10.17073/1609-3577-2015-4-267-272Vallabhaneni A. K., Chen L., Gupta M. P., Kumar S. Solving nongray Boltzmann transport equation in gallium nitride // J. Heat Transfer. 2017. V. 139, Iss. 10. P. 102701. DOI: 10.1115/1.4036616Vallabhaneni A. K., Chen L., Gupta M. P., Kumar S. Solving nongray Boltzmann transport equation in gallium nitride. J. Heat Transfer., 2017, vol. 139, no. 10, p. 102701. DOI: 10.1115/1.4036616Loy J. M., Murthy J. Y., Singh D. A fast hybrid Fourier-Boltzmann transport equation solver for nongray phonon transport // J. Heat Transfer. 2013. V. 135, Iss. 1. P. 011008. DOI: 10.1115/1.4007654Loy J. M., Murthy J. Y., Singh D. A fast hybrid Fourier-Boltzmann transport equation solver for nongray phonon transport. J. Heat Transfer., 2013, vol. 135, no. 1, p. 011008. DOI: 10.1115/1.4007654Chung J. D., McGaughey A. J. H., Kaviany M. Role of phonon dispersion in lattice thermal conductivity modeling // J. Heat Transfer. 2004. V. 126, N 3. P. 376—380. DOI: 10.1115/1.1723469Chung J. D., McGaughey A. J. H., Kaviany M. Role of phonon dispersion in lattice thermal conductivity modeling. J. Heat Transfer., 2004, vol. 126, no. 3, pp. 376—380. DOI: 10.1115/1.1723469Баринов А. А., Чжан К., Бинь Лю, Хвесюк В. И. Развитие методов расчета теплопроводности тонких пленок // Наука и Образование: Научное Издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2017. № 6. С. 56—71.Barinov A. A., Zhang K., Lu B., Khvesyuk V. I. Development of in-plane thermal conductivity calculation methods in thin films. Science and Education of Bauman MSTU. 2017, no. 6, pp. 56—71. (In Russ.)Vermeersch B., Carrete J., Mingo N. Cross-plane heat conduction in thin films with ab-initio phonon dispersions and scattering rates // Appl. Phys. Lett. 2016. V. 108, Iss. 19. P. 193104. DOI: 10.1063/1.4948968Vermeersch B., Carrete J., Mingo N. Cross-plane heat conduction in thin films with ab-initio phonon dispersions and scattering rates. Appl. Phys. Lett., 2016, vol. 108, no. 19, p. 193104. DOI: 10.1063/1.4948968Broido D. A., Malorny M., Birner G., Mingo N., Stewart D. A. Intrinsic lattice thermal conductivity of semiconductors from first principles // Appl. Phys. Lett. 2007. V. 91, Iss. 23. P. 231922. DOI: 10.1063/1.2822891Broido D. A., Malorny M., Birner G., Mingo N., Stewart D. A. Intrinsic lattice thermal conductivity of semiconductors from first principles. Appl. Phys. Lett., 2007, vol. 91, no. 23, p. 231922. DOI: 10.1063/1.2822891Shindé S. L., Srivastava G. P. (Eds.). Length-Scale Dependent Phonon Interactions. New York: Springer, 2014. 296 p. DOI: 10.1007/978-1-4614-8651-0Shindé S. L., Srivastava G. P. (Eds.). Length-Scale Dependent Phonon Interactions. New York: Springer, 2014, 296 p. DOI: 10.1007/978-1-4614-8651-0Bellaiche L., Vanderbilt D. Virtual crystal approximation revisited: Application to dielectric and piezoelectric properties of perovskites // Phys. Rev. B. 2000. V. 61, Iss. 12. P. 7877—7882. DOI: 10.1103/physrevb.61.7877Bellaiche L., Vanderbilt D. Virtual crystal approximation revisited: Application to dielectric and piezoelectric properties of perovskites. Phys. Rev. B, 2000, vol. 61, no. 12, pp. 7877—7882. DOI: 10.1103/physrevb.61.7877Li W., Lindsay L., Broido D. A., Stewart D. A., Mingo N. Thermal conductivity of bulk and nanowire Mg2SixSn1-x alloys from first principles // Phys. Rev. B. 2012. V. 86, Iss. 17. P. 174307. DOI: 10.1103/physrevb.86.174307Li W., Lindsay L., Broido D. A., Stewart D. A., Mingo N. Thermal conductivity of bulk and nanowire Mg2SixSn1-x alloys from first principles. Phys. Rev. B, 2012, vol. 86, no. 17, p. 174307. DOI: 10.1103/physrevb.86.174307Li W., Carrete J., Katcho N. A., Mingo, N. ShengBTE: A solver of the Boltzmann transport equation for phonons // Computer Physics Communications. 2014. V. 185, Iss. 6. P. 1747—1758. DOI: 10.1016/j.cpc.2014.02.015Li W., Carrete J., Katcho N. A., Mingo, N. ShengBTE: A solver of the Boltzmann transport equation for phonons. Computer Physics Communications, 2014, vol. 185, no. 6, pp. 1747—1758. DOI: 10.1016/j.cpc.2014.02.015Kundu A., Mingo N., Broido D. A., Stewart D. A. Role of light and heavy embedded nanoparticles on the thermal conductivity of SiGe alloys // Phys. Rev. B. 2011. V. 84, Iss. 12. P. 125426. DOI: 10.1103/physrevb.84.125426Kundu A., Mingo N., Broido D. A., Stewart D. A. Role of light and heavy embedded nanoparticles on the thermal conductivity of SiGe alloys. Phys. Rev. B, 2011, vol. 84, no. 12, p. 125426. DOI: 10.1103/physrevb.84.125426Ward A., Broido D. A., Stewart D. A., Deinzer G. Ab initio theory of the lattice thermal conductivity in diamond // Phys. Rev. B. 2009. V. 80, Iss. 12. P. 125203. DOI: 10.1103/physrevb.80.125203Ward A., Broido D. A., Stewart D. A., Deinzer G. Ab initio theory of the lattice thermal conductivity in diamond. Phys. Rev. B, 2009, vol. 80, no. 12, p. 125203. DOI: 10.1103/physrevb.80.125203Carrete J., Vermeersch B., Thumfart L., Kakodkar R. R., Trevisi G., Frigeri P., Seravalli L., Feser J. P., Rastelli A., Mingo N. Predictive design and experimental realization of InAs/GaAs superlattices with tailored thermal conductivity // J. Phys. Chem. C. 2018. V. 122, N 7. P. 4054—4062. DOI: 10.1021/acs.jpcc.7b11133Carrete J., Vermeersch B., Thumfart L., Kakodkar R. R., Trevisi G., Frigeri P., Seravalli L., Feser J. P., Rastelli A., Mingo N. Predictive design and experimental realization of InAs/GaAs superlattices with tailored thermal conductivity. J. Phys. Chem. C, 2018, vol. 122, no. 7, pp. 4054—4062. DOI: 10.1021/acs.jpcc.7b11133Wang Y., Shang S.-L., Fang H., Liu Z.-K., Chen L.-Q. First-principles calculations of lattice dynamics and thermal properties of polar solids // Npj Computational Materials. 2016. V. 2, Art. No. 16006. DOI: 10.1038/npjcompumats.2016.6Wang Y., Shang S.-L., Fang H., Liu Z.-K., Chen L.-Q. First-principles calculations of lattice dynamics and thermal properties of polar solids. Npj Computational Materials, 2016, vol. 2, art. no. 16006. DOI: 10.1038/npjcompumats.2016.6Wang Y., Wang J. J., Wang W. Y., Mei Z. G., Shang S. L., Chen L. Q., Liu Z. K. A mixed-space approach to first-principles calculations of phonon frequencies for polar materials // J. Phys.: Condens. Matter. 2010. V. 22, N 20. P. 202201. DOI: 10.1088/0953-8984/22/20/202201Wang Y., Wang J. J., Wang W. Y., Mei Z. G., Shang S. L., Chen L. Q., Liu Z. K. A mixed-space approach to first-principles calculations of phonon frequencies for polar materials. J. Phys.: Condens. Matter., 2010, vol. 22, no. 20, p. 202201. DOI: 10.1088/0953-8984/22/20/202201Spaldin N. A. A beginner’s guide to the modern theory of polarization // J. Solid State Chem. 2012. V. 195. P. 2—10. DOI: 10.1016/j.jssc.2012.05.010Spaldin N. A. A beginner’s guide to the modern theory of polarization. J. Solid State Chem., 2012, vol. 195, pp. 2—10. DOI: 10.1016/j.jssc.2012.05.010Capinski W. S., Maris H. J., Ruf T., Cardona M., Ploog K., Katzer D. S. Thermal-conductivity measurements of GaAs/AlAs superlattices using a picosecond optical pump-and-probe technique // Phys. Rev. B. 1999. V. 59, N 12. P. 8105—8113. DOI: 10.1103/physrevb.59.8105Capinski W. S., Maris H. J., Ruf T., Cardona M., Ploog K., Katzer D. S. Thermal-conductivity measurements of GaAs/AlAs superlattices using a picosecond optical pump-and-probe technique. Phys. Rev. B, 1999, vol. 59, no. 12, pp. 8105—8113. DOI: 10.1103/physrevb.59.8105Benaim M. On functional approximation with normalized Gaussian units // Neural Computation. 1994. V. 6, Iss. 2. P. 319—333. DOI: 10.1162/neco.1994.6.2.319Benaim M. On functional approximation with normalized Gaussian units. Neural Computation, 1994, vol. 6, no. 2, pp. 319—333. DOI: 10.1162/neco.1994.6.2.319Haykin S. S. Neural Networks: A Comprehensive Foundation. Prentice-Hal, 1999. 936 p.Haykin S. S. Neural Networks: A Comprehensive Foundation. Prentice-Hal, 1999, 936 p.Hardy R. L. Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces // J. Geophysical Research. 1971. V. 76, Iss. 8. P. 1905—1915. DOI: 10.1029/JB076i008p01905Hardy R. L. Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces. J. Geophysical Res., 1971, vol. 76, no. 8, pp. 1905—1915. DOI: 10.1029/JB076i008p01905Vasilyev A. N., Kolbin I. S., Reviznikov D. L. Meshfree computational algorithms based on normalized radial basis functions // Advances in Neural Networks – ISNN 2016. 13th International Symposium on Neural Networks (St. Petersburg, Russia). Cham (Switzerland): Springer, 2016. P. 583—591. DOI: 10.1007/978-3-319-40663-3_67Vasilyev A. N., Kolbin I. S., Reviznikov D. L. Meshfree computational algorithms based on normalized radial basis functions. Advances in Neural Networks – ISNN 2016. 13th International Symposium on Neural Networks (St. Petersburg, Russia). Cham (Switzerland): Springer, 2016, pp. 583—591. DOI: 10.1007/978-3-319-40663-3_67Bugmann G. Normalized Gaussian radial basis function networks // Neurocomputing. 1998. V. 20, N 1–3. P. 97—110. DOI: 10.1016/S0925-2312(98)00027-7Bugmann G. Normalized Gaussian radial basis function networks. Neurocomputing, 1998, vol. 20, no. 1–3, pp. 97—110. DOI: 10.1016/S0925-2312(98)00027-7

The authors declare that there are no conflicts of interest present.